POLINOMIAL

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

f(x)=an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0

n = derajat suku banyak
a0 = konstanta

Di dalam polinomial terdapat:
1. Variabel
2. Koefisien
3. Konstanta
4. Pangkat cacah bersusun

Contoh polinomial :
F(x) = X^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Contoh bukan polinomial:
F(x) = X^1/4 + 2x^1/2 + 3x

A. Penjumlahan Polinomial
Contoh :

f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 2x + 3
g(x) = 2x^2 + 3x + 5

f(x) + g(x)
=(2x^3 + 5x^2 + 2x +3) + (2x^2 + 3x + 5)
= 2x^3 + 5x^2 + 2x^2 + 2x + 3x +3 + 5
=2x^3 + 7x^2 + 5x +8

B.  Selisih Polinomial

Contoh :

f(x) - g(x)
=(2x^3 + 5x^2 + 2x + 3) - (2x^2 + 3x + 5)
= 2x^3 + 5x^2 - 2x^2 + 2x - 3x + 3 - 5
=2x^3 + 3x^2 - x - 2

C. Perkalian Polinomial

Contoh :

c) f(x) x g(x)
= (2x^3 - x^2 + 5x - 10) × (3x^2 - 2x + 8)
= 2x^3(3x^2 - 2x + 8) - x^2(3x^2 - 2x + 8) +       5x(3x^2 - 2x + 8) - 10(3x^2 - 2x + 8)
= 2x^5 - 4x^4 + 16x^3 - 3x^4 + 2x^3 - 8x^2  + 15x^3 - 10x^2 + 40x - 30x^2 + 20x - 80
  = 2x^5 - 7x^4 + 33x^3 - 48x^2 + 60x - 80

D. Pembagian Polinomial

f(x) = p(x) h(x) + s(x)

p(x) = pembagi polinomial
h(x) = hasil polinomial
s(x) = sisa polinomial

Contoh:

Teorema sisa

a. Teorema 1

Jika suku banyak f (x) dibagi  x-k, maka akan bersisa f (k) atau
F(x)  akan bersisa f (k)  
(x-k)

contoh soal :

1. B. Teorema sisa 2

Jika suatu banyak f (x) dibagi ax-b maka akan bersisa f(b/a)

Contoh soal:

C. Teorema sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a)(x-b) maka sisanya p(x) +q  dimana f(a) = p(a) + q,

F(b) = p(b) + q

Contoh soal:

X^4 + 3x^3 + 2x^3 + x + 1

X^2 - 3x + 2

Memfaktorkan

X^2 - 3x + 2

(X-1)(x-2)

a = 1 dan b = 2

F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1

F(a) = a^3+ 2(a)^2 + a + 1

F(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 1

F(1) = 1 - 2 + 1 + 1

=1

F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1

F(b) = b^3 - 2(b)^2 + b + 1

F(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 + 1

= 8 - 8 + 3

= 3

F(a) = p(a) + q 

F(1) = p(1) + q

1= p + q

p + q = 1... (1)

F(b) = p(b) + q

F(2) = p(2) + q 

3 = 2p + q

2p + q = 3... (2)

Mengeliminasi persamaan 1&2

P + q = 1

2p + q = 3 -

-p = -2

p = 2

Mensubtitusi nilai p

 p + q = 1

2 + q = 1

q = 1-2

q= -1

Px + q

2x -1 (sisa)

Teorema faktor
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0 maka itulah faktornya.

(X-1)
Algoritma
F(x)= (x-1)(2x^2 + 5x +2)

(X+2)
Hp={-2,1}